Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{8 - 3 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 8 - 3 x$ .

$\frac{(8 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(8 - 3 x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $8 - 3 x$ .

$\frac{2 \cdot (8 - 3 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [8 - 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $8 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- 3 x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x - x^{2} (- 3 \frac{d}{d x} [x])}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2} \cdot 1}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{2 (8 - 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cdot 8 + 2 (- 3 x)) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 8 x + 2 (- 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 x) x + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 (x \cdot x)) + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{16 x + 2 (- 3 x^{2}) + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Умножим $- 3$ на $2$ .

$\frac{16 x - 6 x^{2} + 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Добавим $- 6 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$\frac{16 x - 3 x^{2}}{{(8 - 3 x)}^{2}}$

Этап 3.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- 3 x^{2} + 16 x}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2} + 16 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (- 3 x) + 16 x}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $x$ из $16 x$ .

$\frac{x (- 3 x) + x \cdot 16}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $x$ из $x (- 3 x) + x \cdot 16$ .

$\frac{x (- 3 x + 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x$ .

$\frac{x (- (3 x) + 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.7

Перепишем $16$ в виде $- 1 (- 16)$ .

$\frac{x (- (3 x) - 1 (- 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x) - 1 (- 16)$ .

$\frac{x (- (3 x - 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.9

Перепишем $- (3 x - 16)$ в виде $- 1 (3 x - 16)$ .

$\frac{x (- 1 (3 x - 16))}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$

Этап 3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x (3 x - 16)}{{(- 3 x + 8)}^{2}}$