Математический анализ Примеры

$\frac{- x^{2} - 25}{{(x^{2} - 25)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = - x^{2} - 25$ и $g (x) = {(x^{2} - 25)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 25)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} - 25] - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $- x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [- 25]) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 2.7

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 25)}^{2}]}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 25$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 25$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} - 25) (2 (x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) \frac{d}{d x} [x^{2} - 25])}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (2 x + \frac{d}{d x} [- 25]))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 4.4

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) (2 x))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 4.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} - 25$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} - 25) (2 \cdot (x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 4.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} - 25) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) ((x^{2} - 25) x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} - 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 {(x^{2} - 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.2

Перепишем ${(x^{2} - 25)}^{2}$ в виде $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ .

$\frac{- 2 ((x^{2} - 25) (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.3

Развернем $(x^{2} - 25) (x^{2} - 25)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} - 25) - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 (x^{2} - 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.4.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot - 25 - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.4.1.2

Перенесем $- 25$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} - 25 \cdot x^{2} - 25 x^{2} - 25 \cdot - 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.4.1.3

Умножим $- 25$ на $- 25$ .

$\frac{- 2 (x^{4} - 25 x^{2} - 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.4.2

Вычтем $25 x^{2}$ из $- 25 x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} - 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (- 50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.6.1

Умножим $- 50$ на $- 2$ .

$\frac{(- 2 x^{4} + 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.6.2

Умножим $- 2$ на $625$ .

$\frac{(- 2 x^{4} + 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{4} x + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{1 + 4} + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 (x^{1} x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot - 25) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $- 25$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{2} x - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{2} x^{1} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{2 + 1} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.10.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} + 100) (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.11

Развернем $(4 x^{2} + 100) (x^{3} - 25 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} - 25 x) + 100 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 (x^{3} - 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.12.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (- 25 x) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 x^{2} x + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.12.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 (x \cdot x^{2}) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.12.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 (x^{1} x^{2}) + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 x^{1 + 2} + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot - 25 x^{3} + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12.1.4

Умножим $4$ на $- 25$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 100 x^{3} + 100 x^{3} + 100 (- 25 x)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12.1.5

Умножим $- 25$ на $100$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 100 x^{3} + 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12.2

Добавим $- 100 x^{3}$ и $100 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.1.12.3

Добавим $4 x^{5}$ и $0$ .

$\frac{- 2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.2

Добавим $- 2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} + 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.3.3

Вычтем $2500 x$ из $- 1250 x$ .

$\frac{2 x^{5} + 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5} + 100 x^{3} - 3750 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.4.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $100 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.4.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $- 3750 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.4.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4}) + 2 x (50 x^{2})$ .

$\frac{2 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.4.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4} + 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ .

$\frac{2 x (x^{4} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} + 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$\frac{2 x (u^{2} + 50 u - 1875)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.4.4

Разложим $u^{2} + 50 u - 1875$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 1875$ , а сумма — $50$ .

$- 25, 75$

Этап 5.4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 x ((u - 25) (u + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{2 x ((x^{2} - 25) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.4.6

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{2 x ((x^{2} - 5^{2}) (x^{2} + 75))}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.4.7

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 5$ .

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 25)}^{4}}$

Этап 5.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x^{2} - 5^{2})}^{4}}$

Этап 5.5.2

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{((x + 5) (x - 5))}^{4}}$

Этап 5.5.3

Применим правило умножения к $(x + 5) (x - 5)$ .

$\frac{2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $x + 5$ и ${(x + 5)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $x + 5$ из $2 x (x + 5) (x - 5) (x^{2} + 75)$ .

$\frac{(x + 5) ((2 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вынесем множитель $x + 5$ из ${(x + 5)}^{4} {(x - 5)}^{4}$ .

$\frac{(x + 5) ((2 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x + 5) ((2 x (x - 5)) (x^{2} + 75))}{(x + 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4})}$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 x (x - 5)) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 5.7

Сократим общий множитель $x - 5$ и ${(x - 5)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Вынесем множитель $x - 5$ из $(2 x (x - 5)) (x^{2} + 75)$ .

$\frac{(x - 5) ((2 x) (x^{2} + 75))}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}}$

Этап 5.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Вынесем множитель $x - 5$ из ${(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{4}$ .

$\frac{(x - 5) ((2 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Этап 5.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x - 5) ((2 x) (x^{2} + 75))}{(x - 5) ({(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3})}$

Этап 5.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(2 x) (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$

$\frac{2 x (x^{2} + 75)}{{(x + 5)}^{3} {(x - 5)}^{3}}$