Математический анализ Примеры

$\frac{4 e^{9 x}}{7 x - 2}$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 e^{9 x}}{7 x - 2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{9 x}}{7 x - 2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{9 x}}{7 x - 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{9 x}$ и $g (x) = 7 x - 2$ .

$4 \frac{(7 x - 2) \frac{d}{d x} [e^{9 x}] - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 9 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 x$ .

$4 \frac{(7 x - 2) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 \frac{(7 x - 2) (e^{u} \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 x$ .

$4 \frac{(7 x - 2) (e^{9 x} \frac{d}{d x} [9 x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} (9 \frac{d}{d x} [x]) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} (9 \cdot 1) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $9$ на $1$ .

$4 \frac{(7 x - 2) e^{9 x} \cdot 9 - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перенесем $9$ влево от $(7 x - 2) e^{9 x}$ .

$4 \frac{9 \cdot ((7 x - 2) e^{9 x}) - e^{9 x} \frac{d}{d x} [7 x - 2]}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.4

По правилу суммы производная $7 x - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.5

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.7

Умножим $7$ на $1$ .

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.8

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} (7 + 0)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Добавим $7$ и $0$ .

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - e^{9 x} \cdot 7}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.9.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$4 \frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 4.9.3

Объединим $4$ и $\frac{9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{4 (9 (7 x - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 ((9 (7 x) + 9 \cdot - 2) e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (9 (7 x) e^{9 x} + 9 \cdot - 2 e^{9 x} - 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (9 (7 x) e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Умножим $7$ на $9$ .

$\frac{4 (63 x e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4.1.2

Умножим $63$ на $4$ .

$\frac{252 (x e^{9 x}) + 4 (9 \cdot - 2 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4.1.3

Умножим $9$ на $- 2$ .

$\frac{252 x e^{9 x} + 4 (- 18 e^{9 x}) + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4.1.4

Умножим $- 18$ на $4$ .

$\frac{252 x e^{9 x} - 72 e^{9 x} + 4 (- 7 e^{9 x})}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4.1.5

Умножим $- 7$ на $4$ .

$\frac{252 x e^{9 x} - 72 e^{9 x} - 28 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.4.2

Вычтем $28 e^{9 x}$ из $- 72 e^{9 x}$ .

$\frac{252 x e^{9 x} - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.5

Изменим порядок членов.

$\frac{252 e^{9 x} x - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $4 e^{9 x}$ из $252 e^{9 x} x - 100 e^{9 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $4 e^{9 x}$ из $252 e^{9 x} x$ .

$\frac{4 e^{9 x} (63 x) - 100 e^{9 x}}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $4 e^{9 x}$ из $- 100 e^{9 x}$ .

$\frac{4 e^{9 x} (63 x) + 4 e^{9 x} (- 25)}{{(7 x - 2)}^{2}}$

Этап 5.6.3

Вынесем множитель $4 e^{9 x}$ из $4 e^{9 x} (63 x) + 4 e^{9 x} (- 25)$ .

$\frac{4 e^{9 x} (63 x - 25)}{{(7 x - 2)}^{2}}$