Математический анализ Примеры

$\frac{3 x - 1}{\sqrt{x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 1$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x^{1}}$

Этап 4

Упростим.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 5

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 8

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 10.2

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{x}$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{x}$

Этап 12

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{x}$

Этап 13

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{x}$

Этап 15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{x}$

Этап 15.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{x}$

Этап 16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{x}$

Этап 17

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{x}$

Этап 18

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + (- (3 x) - - 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - (3 x) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.2

Умножим $- 3 x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + x \frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.2.2

Объединим $x$ и $\frac{- 3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.3

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot - 3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.4

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1.4.1

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.4.2

Умножим $x^{- \frac{1}{2}}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + 1} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.4.5

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 3}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.5

Перенесем $- 3$ влево от $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{- 3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} - - 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.1.8

Умножим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.2

Чтобы записать $3 x^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.3

Объединим $3 x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.5.1

Вынесем множитель $3 x^{\frac{1}{2}}$ из $3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.3.5.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5.1.2

Вынесем множитель $3 x^{\frac{1}{2}}$ из $3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2) - 3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5.1.3

Вынесем множитель $3 x^{\frac{1}{2}}$ из $- 3 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2) + 3 x^{\frac{1}{2}} (- 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5.1.4

Вынесем множитель $3 x^{\frac{1}{2}}$ из $3 x^{\frac{1}{2}} (2) + 3 x^{\frac{1}{2}} (- 1)$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} (2 - 1)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.3.5.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.1

Умножим $\frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$ на $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{x}$

Этап 19.4.2

Объединим.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x^{\frac{1}{2}}) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} (3 x^{\frac{1}{2}}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.5

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.5.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{\frac{2}{2}} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.5.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{1} \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.6

Упростим $x^{1} \cdot 3$ .

$\frac{x \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.7

Сократим общий множитель $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.4.7.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 3 + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.7.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \cdot 3 + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.8

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} x}$

Этап 19.4.9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 x + 1}{2 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 19.4.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{1 + \frac{1}{2}}}$

Этап 19.4.11

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 19.4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Этап 19.4.13

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{3 x + 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$