Математический анализ Примеры

$3 x {(16 - x)}^{3}$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x {(16 - x)}^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(16 - x)}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(16 - x)}^{3}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{3}] + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 16 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $16 - x$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $16 - x$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [16 - x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $16 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [- x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (3 {(16 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2} \cdot 1) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.7

Умножим $- 3$ на $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3} \cdot 1)$

Этап 4.9

Умножим ${(16 - x)}^{3}$ на $1$ .

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2}) + {(16 - x)}^{3})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x (- 3 {(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Этап 5.2

Умножим $- 3$ на $3$ .

$- 9 (x ({(16 - x)}^{2})) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $3 {(16 - x)}^{2}$ из $- 9 x {(16 - x)}^{2} + 3 {(16 - x)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $3 {(16 - x)}^{2}$ из $- 9 x {(16 - x)}^{2}$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{3}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $3 {(16 - x)}^{2}$ из $3 {(16 - x)}^{3}$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $3 {(16 - x)}^{2}$ из $3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x) + 3 {(16 - x)}^{2} (16 - x)$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 3 x + 16 - x)$

Этап 5.4

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$3 {(16 - x)}^{2} (- 4 x + 16)$

Этап 5.5

Перепишем ${(16 - x)}^{2}$ в виде $(16 - x) (16 - x)$ .

$3 ((16 - x) (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Этап 5.6

Развернем $(16 - x) (16 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (16 (16 - x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Этап 5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)) (- 4 x + 16)$

Этап 5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Этап 5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Умножим $16$ на $16$ .

$3 (256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Этап 5.7.1.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

$3 (256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Этап 5.7.1.3

Умножим $16$ на $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - x (- x)) (- 4 x + 16)$

Этап 5.7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x) (- 4 x + 16)$

Этап 5.7.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.5.1

Перенесем $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)) (- 4 x + 16)$

Этап 5.7.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 5.7.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 5.7.1.7

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$3 (256 - 16 x - 16 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 5.7.2

Вычтем $16 x$ из $- 16 x$ .

$3 (256 - 32 x + x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 \cdot 256 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $3$ на $256$ .

$(768 + 3 (- 32 x) + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 5.9.2

Умножим $- 32$ на $3$ .

$(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$

Этап 5.10

Развернем $(768 - 96 x + 3 x^{2}) (- 4 x + 16)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$768 (- 4 x) + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Умножим $- 4$ на $768$ .

$- 3072 x + 768 \cdot 16 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.2

Умножим $768$ на $16$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 x (- 4 x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x \cdot x - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.4.1

Перенесем $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 (x \cdot x) - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 3072 x + 12288 - 96 \cdot - 4 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.5

Умножим $- 96$ на $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 96 x \cdot 16 + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.6

Умножим $16$ на $- 96$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 x^{2} (- 4 x) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.8

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.8.1

Перенесем $x$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.8.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.8.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x + 3 \cdot - 4 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.9

Умножим $3$ на $- 4$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 16$

Этап 5.11.10

Умножим $16$ на $3$ .

$- 3072 x + 12288 + 384 x^{2} - 1536 x - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Этап 5.12

Вычтем $1536 x$ из $- 3072 x$ .

$- 4608 x + 12288 + 384 x^{2} - 12 x^{3} + 48 x^{2}$

Этап 5.13

Добавим $384 x^{2}$ и $48 x^{2}$ .

$- 4608 x + 12288 - 12 x^{3} + 432 x^{2}$