Математический анализ Примеры

$\frac{4 x}{x^{2} - 5}$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{x^{2} - 5}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} - 5}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} - 5$ .

$4 \frac{(x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $x^{2} - 5$ на $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x \frac{d}{d x} [x^{2} - 5]}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x^{2} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - x (2 x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \frac{x^{2} - 5 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 9

Объединим $4$ и $\frac{- x^{2} - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot - 5}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 10.2.2

Умножим $4$ на $- 5$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 20}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 10.3

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2} - 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) - 20}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 10.3.2

Вынесем множитель $4$ из $- 20$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (- 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 10.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (- x^{2}) + 4 (- 5)$ .

$\frac{4 (- x^{2} - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 10.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{4 (- (x^{2}) - 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 10.5

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{4 (- (x^{2}) - 1 (5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{4 (- (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 10.7

Перепишем $- (x^{2} + 5)$ в виде $- 1 (x^{2} + 5)$ .

$\frac{4 (- 1 (x^{2} + 5))}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$

Этап 10.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 (x^{2} + 5)}{{(x^{2} - 5)}^{2}}$