Математический анализ Примеры

$\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{3 x^{2} + 27}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x^{2} + 27}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 3 x^{2} + 27$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{(3 x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $3 x^{2} + 27$ на $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 27]}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $3$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x + 0)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $6 x$ и $0$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - x (6 x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x \cdot x}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 (x^{1} x^{1})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{1 + 1}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \frac{3 x^{2} + 27 - 6 x^{2}}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 8

Вычтем $6 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$4 \frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 9

Объединим $4$ и $\frac{- 3 x^{2} + 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- 3 x^{2} + 27)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 3$ на $4$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 27}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 10.2.2

Умножим $4$ на $27$ .

$\frac{- 12 x^{2} + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{2} + 108$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Вынесем множитель $12$ из $- 12 x^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{2}) + 108}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 10.3.1.2

Вынесем множитель $12$ из $108$ .

$\frac{12 (- x^{2}) + 12 (9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 10.3.1.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (- x^{2}) + 12 (9)$ .

$\frac{12 (- x^{2} + 9)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 10.3.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{12 (- x^{2} + 3^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 10.3.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $3^{2}$ .

$\frac{12 (3^{2} - x^{2})}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 10.3.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 3$ и $b = x$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 27)}^{2}}$

Этап 10.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2}) + 27)}^{2}}$

Этап 10.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 x^{2} + 3 \cdot 9)}^{2}}$

Этап 10.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 \cdot 9$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{{(3 (x^{2} + 9))}^{2}}$

Этап 10.4.2

Применим правило умножения к $3 (x^{2} + 9)$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{3^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 10.4.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$\frac{12 (3 + x) (3 - x)}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 10.5

Сократим общий множитель $12$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $3$ из $12 (3 + x) (3 - x)$ .

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{9 {(x^{2} + 9)}^{2}}$

Этап 10.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 {(x^{2} + 9)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

Этап 10.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 (3 + x) (3 - x))}{3 (3 {(x^{2} + 9)}^{2})}$

Этап 10.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 {(x^{2} + 9)}^{2}}$