Математический анализ Примеры

$4^{6 - x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 4^{x}$ и $g (x) = 6 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $4$ .

$4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 - x^{2}$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) \frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- (2 x))$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- 2 x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $4^{6 - x^{2}} \ln (4) (- 2 x)$ .

$- 2 \cdot 4^{6 - x^{2}} x \ln (4)$

Этап 3.2

Умножим $- 2 \cdot 4^{6 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$- (2 \cdot 4^{6 - x^{2}}) x \ln (4)$

Этап 3.2.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$- (2 \cdot {(2^{2})}^{6 - x^{2}}) x \ln (4)$

Этап 3.2.3

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{6 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (2 \cdot 2^{2 (6 - x^{2})}) x \ln (4)$

Этап 3.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- (2 \cdot 2^{2 \cdot 6 + 2 (- x^{2})}) x \ln (4)$

Этап 3.2.3.3

Умножим $2$ на $6$ .

$- (2 \cdot 2^{12 + 2 (- x^{2})}) x \ln (4)$

Этап 3.2.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- (2 \cdot 2^{12 - 2 x^{2}}) x \ln (4)$

Этап 3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2^{1 + 12 - 2 x^{2}} x \ln (4)$

Этап 3.2.5

Добавим $1$ и $12$ .

$- 2^{13 - 2 x^{2}} x \ln (4)$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $- 2^{13 - 2 x^{2}} x \ln (4)$ .

$- x \cdot 2^{13 - 2 x^{2}} \ln (4)$