Математический анализ Примеры

$\frac{- 6 x}{\sin (x) + \cos (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d}{d x} [- \frac{6 x}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Этап 1.2

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{6 x}{\sin (x) + \cos (x)}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x) + \cos (x)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$- 6 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 6 \frac{(\sin (x) + \cos (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $\sin (x) + \cos (x)$ на $1$ .

$- 6 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 6 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 6 \frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $- 6$ и $\frac{\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 6 (\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6 (\sin (x) + \cos (x) - x (\cos (x) - \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{6 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) - x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{6 \sin (x) + 6 \cos (x) + 6 (- x \cos (x)) + 6 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- \frac{6 \sin (x) + 6 \cos (x) - 6 (x \cos (x)) + 6 (- x (- \sin (x)))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.3.2

Умножим $- x (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{6 \sin (x) + 6 \cos (x) - 6 x \cos (x) + 6 (1 x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.3.2.2

Умножим $x$ на $1$ .

$- \frac{6 \sin (x) + 6 \cos (x) - 6 x \cos (x) + 6 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

$- \frac{6 \sin (x) + 6 \cos (x) - 6 x \cos (x) + 6 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.4

Вынесем множитель $6$ из $6 \sin (x) + 6 \cos (x) - 6 x \cos (x) + 6 x \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \sin (x)$ .

$- \frac{6 (\sin (x)) + 6 \cos (x) - 6 x \cos (x) + 6 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.4.2

Вынесем множитель $6$ из $6 \cos (x)$ .

$- \frac{6 (\sin (x)) + 6 (\cos (x)) - 6 x \cos (x) + 6 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.4.3

Вынесем множитель $6$ из $- 6 x \cos (x)$ .

$- \frac{6 (\sin (x)) + 6 (\cos (x)) + 6 (- x \cos (x)) + 6 x \sin (x)}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.4.4

Вынесем множитель $6$ из $6 x \sin (x)$ .

$- \frac{6 (\sin (x)) + 6 (\cos (x)) + 6 (- x \cos (x)) + 6 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.4.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (\sin (x)) + 6 (\cos (x))$ .

$- \frac{6 (\sin (x) + \cos (x)) + 6 (- x \cos (x)) + 6 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.4.6

Вынесем множитель $6$ из $6 (\sin (x) + \cos (x)) + 6 (- x \cos (x))$ .

$- \frac{6 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x)) + 6 (x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

Этап 7.4.7

Вынесем множитель $6$ из $6 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x)) + 6 (x \sin (x))$ .

$- \frac{6 (\sin (x) + \cos (x) - x \cos (x) + x \sin (x))}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$