Математический анализ Примеры

$\frac{5}{7} \cdot {(2 x^{3} - x + 6)}^{14}$

Этап 1

Поскольку $\frac{5}{7}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{7} \cdot {(2 x^{3} - x + 6)}^{14}$ по $x$ равна $\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - x + 6)}^{14}]$ .

$\frac{5}{7} \frac{d}{d x} [{(2 x^{3} - x + 6)}^{14}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{14}$ и $g (x) = 2 x^{3} - x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{3} - x + 6$ .

$\frac{5}{7} (\frac{d}{d u} [u^{14}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 14$ .

$\frac{5}{7} (14 u^{13} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{3} - x + 6$ .

$\frac{5}{7} (14 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $14$ и $\frac{5}{7}$ .

$\frac{14 \cdot 5}{7} ({(2 x^{3} - x + 6)}^{13} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6])$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $14$ на $5$ .

$\frac{70}{7} ({(2 x^{3} - x + 6)}^{13} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6])$

Этап 3.2.2

Объединим ${(2 x^{3} - x + 6)}^{13}$ и $\frac{70}{7}$ .

$\frac{{(2 x^{3} - x + 6)}^{13} \cdot 70}{7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6]$

Этап 3.2.3

Перенесем $70$ влево от ${(2 x^{3} - x + 6)}^{13}$ .

$\frac{70 \cdot {(2 x^{3} - x + 6)}^{13}}{7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6]$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $70$ и $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $7$ из $70 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13}$ .

$\frac{7 (10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13})}{7} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6]$

Этап 3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Вынесем множитель $7$ из $7$ .

$\frac{7 (10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13})}{7 (1)} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6]$

Этап 3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7 (10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13})}{7 \cdot 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6]$

Этап 3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13}}{1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6]$

Этап 3.2.4.2.4

Разделим $10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13}$ на $1$ .

$10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13} \frac{d}{d x} [2 x^{3} - x + 6]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $2 x^{3} - x + 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $2$ .

$10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13} (6 x^{2} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13} (6 x^{2} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13} (6 x^{2} - 1 + \frac{d}{d x} [6])$

Этап 3.10

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13} (6 x^{2} - 1 + 0)$

Этап 3.11

Добавим $6 x^{2} - 1$ и $0$ .

$10 {(2 x^{3} - x + 6)}^{13} (6 x^{2} - 1)$