Математический анализ Примеры

$e^{\sqrt{\sin (x)}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\sin (x)}$ в виде ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\sin (x)$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\sin (x)$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 8.3

Перенесем ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 9

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

Этап 10

Объединим $\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{e^{{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$