Математический анализ Примеры

$e^{4 x \ln (x^{3})}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x \ln (x^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x \ln (x^{3})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x \ln (x^{3})$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

Этап 2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x \ln (x^{3})$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})]$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x^{3})$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $x$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x^{1}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.2.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3}{x^{2}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.4.2

Объединим $\frac{3}{x^{2}}$ и $x^{2}$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.4.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Сократим общий множитель.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.4.3.2

Разделим $3$ на $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \cdot 1))$

Этап 5.6

Умножим $\ln (x^{3})$ на $1$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3})))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3 + 4 \ln (x^{3}))$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3) + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

Этап 6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $4$ на $3$ .

$e^{4 x \ln (x^{3})} \cdot 12 + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

Этап 6.3.2

Перенесем $12$ влево от $e^{4 x \ln (x^{3})}$ .

$12 e^{4 x \ln (x^{3})} + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

Этап 6.4

Изменим порядок членов.

$4 e^{4 x \ln (x^{3})} \ln (x^{3}) + 12 e^{4 x \ln (x^{3})}$