Математический анализ Примеры

$e^{- \frac{2}{x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - \frac{2}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- \frac{2}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{2}{x}$ .

$e^{- \frac{2}{x}} \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$e^{- \frac{2}{x}} (- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$e^{- \frac{2}{x}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$e^{- \frac{2}{x}} (- 2 (- x^{- 2}))$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$e^{- \frac{2}{x}} (2 x^{- 2})$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $e^{- \frac{2}{x}} (2 x^{- 2})$ .

$2 e^{- \frac{2}{x}} x^{- 2}$

Этап 3.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 e^{- \frac{2}{x}} \frac{1}{x^{2}}$

Этап 3.3

Умножим $2 e^{- \frac{2}{x}} \frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $2$ .

$\frac{2}{x^{2}} e^{- \frac{2}{x}}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{2}{x^{2}}$ и $e^{- \frac{2}{x}}$ .

$\frac{2 e^{- \frac{2}{x}}}{x^{2}}$