Математический анализ Примеры

$\frac{d}{d x} \cdot (\ln ({(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 4$ и $g (x) = x + 5$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 4.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 4.4.2

Умножим $x + 5$ на $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 4.5

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 4.7

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 4.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 4.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4)}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 4.8.3

Объединим $\frac{x + 5 - (x + 4)}{{(x + 5)}^{2}}$ и $3$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{(x + 5 - (x + 4)) \cdot 3}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

Этап 4.8.4

Перенесем $3$ влево от $x + 5 - (x + 4)$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{3 \cdot (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило умножения к $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

Этап 5.2

Применим правило умножения к $\frac{x + 4}{x + 5}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - x - 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}$ .

$1 \frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.5.2

Умножим $\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}}$ на $1$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.5.3

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.5.4

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.5.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x + 3 \cdot - 4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.5.6

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.5.7

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{0 + 15 - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.5.8

Добавим $0$ и $15$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{15 - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.5.9

Вычтем $12$ из $15$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

Этап 5.5.10

Умножим $\frac{3}{{(x + 5)}^{2}}$ на $\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{2}}$

Этап 5.5.11

Умножим ${(x + 5)}^{2}$ на ${(x + 5)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.11.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2 + 2}}$

Этап 5.5.11.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{4}}$

Этап 5.5.12

Умножим $\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}}$ на $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{4}}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

Этап 5.5.13

Перенесем $3$ влево от ${(x + 5)}^{3}$ .

$\frac{3 \cdot {(x + 5)}^{3} {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

Этап 5.5.14

Сократим общий множитель ${(x + 5)}^{3}$ и ${(x + 5)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.14.1

Вынесем множитель ${(x + 5)}^{3}$ из $3 {(x + 5)}^{3} {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

Этап 5.5.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.14.2.1

Вынесем множитель ${(x + 5)}^{3}$ из ${(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}$ .

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 5)}^{3} ({(x + 4)}^{3} (x + 5))}$

Этап 5.5.14.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 5)}^{3} ({(x + 4)}^{3} (x + 5))}$

Этап 5.5.14.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{3} (x + 5)}$

Этап 5.5.15

Сократим общий множитель ${(x + 4)}^{2}$ и ${(x + 4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.15.1

Вынесем множитель ${(x + 4)}^{2}$ из $3 {(x + 4)}^{2}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{3} (x + 5)}$

Этап 5.5.15.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.15.2.1

Вынесем множитель ${(x + 4)}^{2}$ из ${(x + 4)}^{3} (x + 5)$ .

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{2} ((x + 4) (x + 5))}$

Этап 5.5.15.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{2} ((x + 4) (x + 5))}$

Этап 5.5.15.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{(x + 4) (x + 5)}$