Математический анализ Примеры

$arccsc (5 x^{2} + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = arccsc (x)$ и $g (x) = 5 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

Этап 1.2

Производная $arccsc (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $5$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x + 0)$

Этап 2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $10 x$ и $0$ .

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x)$

Этап 2.6.2

Умножим $10$ на $- 1$ .

$- 10 \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Этап 2.6.3

Объединим $- 10$ и $\frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 10}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Этап 2.6.4

Объединим $\frac{- 10}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ и $x$ .

$\frac{- 10 x}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

Этап 2.6.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{10 x}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$