Математический анализ Примеры

$\cos^{2} (\cos (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (\cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (\cos (x))$ .

$2 \cos (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (\cos (x))]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$2 \cos (\cos (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (\cos (x)) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$2 \cos (\cos (x)) (- \sin (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \cos (\cos (x)) (\sin (\cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) (- \sin (x))$

Этап 5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $2 \cos (\cos (x)) \sin (\cos (x)) \sin (x)$ .

$2 \cos (\cos (x)) \sin (x) \sin (\cos (x))$

Этап 6.2

Изменим порядок $2 \cos (\cos (x)) \sin (x)$ и $\sin (\cos (x))$ .

$\sin (\cos (x)) (2 \cos (\cos (x)) \sin (x))$

Этап 6.3

Перенесем круглые скобки.

$\sin (\cos (x)) (2 \cos (\cos (x))) \sin (x)$

Этап 6.4

Изменим порядок $\sin (\cos (x))$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (\cos (x)) \cos (\cos (x)) \sin (x)$

Этап 6.5

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 \cos (x)) \sin (x)$