Математический анализ Примеры

$\frac{\arctan (x) - \frac{π}{4}}{x - 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \arctan (x) - \frac{π}{4}$ и $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [\arctan (x) - \frac{π}{4}] - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $\arctan (x) - \frac{π}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- \frac{π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{π}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{1}{1 + x^{2}} + 0) - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.2

Добавим $\frac{1}{1 + x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4}) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 4.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - (\arctan (x) - \frac{π}{4})}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 1) \frac{1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) - - \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $x - 1$ на $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) - - \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- - \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) + 1 \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.1.2.2

Умножим $\frac{π}{4}$ на $1$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $- \arctan (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} - \arctan (x) \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.3

Объединим $- \arctan (x)$ и $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{\frac{x - 1}{1 + x^{2}} + \frac{- \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) \cdot 1 - \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{x - 1 - \arctan (x) - \arctan (x) x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\frac{- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4

Перепишем $- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.4.1

Перегруппируем члены.

$\frac{\frac{- 1 - x^{2} \arctan (x) + x - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} \arctan (x) + x - \arctan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.4.2.1

Изменим порядок $- x^{2} \arctan (x)$ и $x$ .

$\frac{\frac{- 1 + x - x^{2} \arctan (x) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.2.2

Вынесем множитель $- 1$ из $x$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - x^{2} \arctan (x) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x)) - \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x) - (x^{2} \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x + x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (- x + x^{2} \arctan (x)) - (\arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 - 1 (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.2.7

Перепишем $- 1 (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ в виде $- (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{\frac{- 1 - (x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 - (x^{2} \arctan (x) - x + \arctan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.4.4.1

Изменим порядок $x^{2} \arctan (x)$ и $- x$ .

$\frac{\frac{- 1 - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.4.2

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{\frac{- 1 (1) - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.4.4

Перепишем $- 1 (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ в виде $- (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- (1 - x + x^{2} \arctan (x) + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.1.4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\frac{- (x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x))}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.6

Чтобы записать $- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.7

Чтобы записать $\frac{π}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{- \frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + x^{2}) \cdot 4$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.8.1

Умножим $\frac{x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)}{1 + x^{2}}$ на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{(1 + x^{2}) \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.8.2

Умножим $\frac{π}{4}$ на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{(1 + x^{2}) \cdot 4} + \frac{π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.8.3

Изменим порядок множителей в $(1 + x^{2}) \cdot 4$ .

$\frac{- \frac{(x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4}{4 (1 + x^{2})} + \frac{π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{- (x^{2} \arctan (x) - x + 1 + \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{(- (x^{2} \arctan (x)) - - x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.2.1

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + 1 x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10.2.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + x - 1 \cdot 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{(- x^{2} \arctan (x) + x - 1 - \arctan (x)) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{- x^{2} \arctan (x) \cdot 4 + x \cdot 4 - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.10.4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + x \cdot 4 - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10.4.2

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 1 \cdot 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10.4.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 4 - \arctan (x) \cdot 4 + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10.4.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 \cdot x - 4 - 4 \arctan (x) + π (1 + x^{2})}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 x - 4 - 4 \arctan (x) + π \cdot 1 + π x^{2}}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10.6

Умножим $π$ на $1$ .

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + 4 x - 4 - 4 \arctan (x) + π + π x^{2}}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.10.7

Изменим порядок членов.

$\frac{\frac{- 4 x^{2} \arctan (x) + π x^{2} + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{2} \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x)) + π x^{2} + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.12

Вынесем множитель $- 1$ из $π x^{2}$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x)) - (- π x^{2}) + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} \arctan (x)) - (- π x^{2})$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) + 4 x - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.14

Вынесем множитель $- 1$ из $4 x$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) - (- 4 x) - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.15

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2}) - (- 4 x)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 4 + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.16

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 1 (4) + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.17

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x) - 1 (4)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) + π - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.18

Вынесем множитель $- 1$ из $π$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) - 1 (- π) - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.19

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4) - 1 (- π)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.20

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 \arctan (x)$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - (4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.21

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π) - (4 \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.22

Перепишем $- (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))$ в виде $- 1 (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))$ .

$\frac{\frac{- 1 (4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x))}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2.23

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $\frac{- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}}{{(x - 1)}^{2}}$ в виде произведения.

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ на $\frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 (1 + x^{2})}$ .

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{{(x - 1)}^{2} (4 (1 + x^{2}))}$

Этап 5.3.3

Перенесем $4$ влево от ${(x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{4 x^{2} \arctan (x) - π x^{2} - 4 x + 4 - π + 4 \arctan (x)}{4 {(x - 1)}^{2} (1 + x^{2})}$