Математический анализ Примеры

${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$ в виде $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})$ , вынося $\frac{1}{x^{2}}$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\cos (x))}]$

Этап 2

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\ln (\cos (x))$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (\cos (x))$ и $g (x) = x^{2}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 5

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 6.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 8

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 9.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

Этап 9.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x)))$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 \ln (\cos (x)) x$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

Этап 9.2.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

Этап 10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

Этап 11

Объединим $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ и $\frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \sec (x) \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.2.1.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.3.1

Объединим $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{- x \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.2.1.3.2

Объединим $\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)}$ и $x$ .

$\frac{- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.2.1.4

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)}$ .

$\frac{- \frac{\sin (x) (e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x)}{\cos (x)} + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

Этап 12.2.1.6

Умножим $- 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.6.1

Изменим порядок $\ln (\cos (x))$ и $- 2$ .

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 \cdot \ln (\cos (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Этап 12.2.1.6.2

Упростим $- 2 \cdot \ln (\cos (x))$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Этап 12.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Разделим дроби.

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Этап 12.2.2.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \tan (x)) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Этап 12.2.2.3

Разделим $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x$ на $1$ .

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

Этап 12.2.3

Изменим порядок множителей в $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ .

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Этап 12.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Этап 12.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Вынесем множитель $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ из $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1.1

Перенесем $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ .

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Этап 12.4.1.2

Вынесем множитель $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ из $- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

Этап 12.4.1.3

Вынесем множитель $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ из $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.4.1.4

Вынесем множитель $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ из $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.4.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.4.3

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $x$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.4.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $x$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.4.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.4.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (\cos^{2} (x))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

Этап 12.4.4.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x)))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \cdot - 1 (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.4.5

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.6.1

Разделим дроби.

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.6.2

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

Этап 12.6.3

Разделим $x$ на $1$ .

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$