Математический анализ Примеры

$\frac{\cos (x)}{\csc (x)}$

Этап 1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 9

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Этап 11

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Этап 12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Этап 13

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = \sin (x)$ .

$(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 14.2

Развернем $(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 14.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Этап 14.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 14.3

Объединим противоположные члены в $\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)) + \sin (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (x) (- \sin (x))$ и $\sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x) + \cos (x) \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 14.3.2

Добавим $- \cos (x) \sin (x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \cos (x) + 0 + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 14.3.3

Добавим $\cos (x) \cos (x)$ и $0$ .

$\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 14.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 14.4.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 14.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 14.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))$

Этап 14.4.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\cos^{2} (x) - \sin (x) \sin (x)$

Этап 14.4.3

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))$

Этап 14.4.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

Этап 14.4.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}$

Этап 14.4.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 14.5

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos (2 x)$