Математический анализ Примеры

$\frac{8 \ln (x)}{x^{8}}$

Этап 1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{8 \ln (x)}{x^{8}}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{8}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{8}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{8}$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{{(x^{8})}^{2}}$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{8})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{8 \cdot 2}}$

Этап 3.2

Умножим $8$ на $2$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Этап 4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$8 \frac{x^{8} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x^{8}$ и $\frac{1}{x}$ .

$8 \frac{\frac{x^{8}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $x^{8}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{8}$ .

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Этап 5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x^{1}} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Этап 5.2.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Этап 5.2.2.3

Сократим общий множитель.

$8 \frac{\frac{x \cdot x^{7}}{x \cdot 1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Этап 5.2.2.4

Перепишем это выражение.

$8 \frac{\frac{x^{7}}{1} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Этап 5.2.2.5

Разделим $x^{7}$ на $1$ .

$8 \frac{x^{7} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{8}]}{x^{16}}$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$8 \frac{x^{7} - \ln (x) (8 x^{7})}{x^{16}}$

Этап 5.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$8 \frac{x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $x^{7}$ из $x^{7} - 8 \ln (x) x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Умножим на $1$ .

$8 \frac{x^{7} \cdot 1 - 8 \ln (x) x^{7}}{x^{16}}$

Этап 5.4.2.2

Вынесем множитель $x^{7}$ из $- 8 \ln (x) x^{7}$ .

$8 \frac{x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))}{x^{16}}$

Этап 5.4.2.3

Вынесем множитель $x^{7}$ из $x^{7} \cdot 1 + x^{7} (- 8 \ln (x))$ .

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{16}}$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x^{7}$ из $x^{16}$ .

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$8 \frac{x^{7} (1 - 8 \ln (x))}{x^{7} x^{9}}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$8 \frac{1 - 8 \ln (x)}{x^{9}}$

Этап 7

Объединим $8$ и $\frac{1 - 8 \ln (x)}{x^{9}}$ .

$\frac{8 (1 - 8 \ln (x))}{x^{9}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 \cdot 1 + 8 (- 8 \ln (x))}{x^{9}}$

Этап 8.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $8$ на $1$ .

$\frac{8 + 8 (- 8 \ln (x))}{x^{9}}$

Этап 8.2.2

Упростим $- 8 \ln (x)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$\frac{8 + 8 (- \ln (x^{8}))}{x^{9}}$

Этап 8.2.3

Умножим $8 (- \ln (x^{8}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{8 - 8 \ln (x^{8})}{x^{9}}$

Этап 8.2.3.2

Упростим $- 8 \ln (x^{8})$ путем переноса $8$ под логарифм.

$\frac{8 - \ln ({(x^{8})}^{8})}{x^{9}}$

Этап 8.2.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{8})}^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 - \ln (x^{8 \cdot 8})}{x^{9}}$

Этап 8.2.4.2

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{8 - \ln (x^{64})}{x^{9}}$