Математический анализ Примеры

$\frac{9 x^{3} + 3 x^{2}}{x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 9 x^{3} + 3 x^{2}$ и $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 x^{3} + 3 x^{2}] - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $9 x^{3} + 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x^{3}$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $9$ .

$\frac{x (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 3 (2 x)) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (27 x^{2}) + x (6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (27 x^{2}) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{27 x \cdot x^{2} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{27 (x^{2} x) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{27 (x^{2} x^{1}) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{27 x^{2 + 1} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{27 x^{3} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{27 x^{3} + 6 x \cdot x - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 (x \cdot x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.5

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x^{3} - (3 x^{2})}{x^{2}}$

Этап 3.3.1.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x^{3} - 3 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $9 x^{3}$ из $27 x^{3}$ .

$\frac{18 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $3 x^{2}$ из $6 x^{2}$ .

$\frac{18 x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $18 x^{3} + 3 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $18 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2}}{x^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2} (1)}{x^{2}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $3 x^{2}$ из $3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2} (1)$ .

$\frac{3 x^{2} (6 x + 1)}{x^{2}}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2} (6 x + 1)}{x^{2}}$

Этап 3.5.2

Разделим $3 (6 x + 1)$ на $1$ .

$3 (6 x + 1)$

Этап 3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (6 x) + 3 \cdot 1$

Этап 3.7

Умножим $6$ на $3$ .

$18 x + 3 \cdot 1$

Этап 3.8

Умножим $3$ на $1$ .

$18 x + 3$