Математический анализ Примеры

$\log_{5} (2 x - 6)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{5} (x)$ и $g (x) = 2 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{5} (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Этап 1.2

Производная $\log_{5} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x - 6$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} \frac{d}{d x} [2 x - 6]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 2.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} (2 + 0)$

Этап 2.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)} \cdot 2$

Этап 2.6.2

Объединим $\frac{1}{(2 x - 6) \ln (5)}$ и $2$ .

$\frac{2}{(2 x - 6) \ln (5)}$

Этап 2.6.3

Сократим общий множитель $2$ и $2 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 1}{(2 x - 6) \ln (5)}$

Этап 2.6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $(2 x - 6) \ln (5)$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 ((x - 3) \ln (5))}$

Этап 2.6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 1}{2 ((x - 3) \ln (5))}$

Этап 2.6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{(x - 3) \ln (5)}$

Этап 2.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x \ln (5) - 3 \ln (5)}$