Математический анализ Примеры

$\sec^{2} (e^{2 x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (e^{2 x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sec (e^{2 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (e^{2 x})]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sec (e^{2 x})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sec (e^{2 x})$ .

$2 \sec (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [\sec (e^{2 x})]$

Этап 2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $e^{2 x}$ .

$2 \sec (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 2.2

Производная $\sec (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$2 \sec (e^{2 x}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{2 x}$ .

$2 \sec (e^{2 x}) (\sec (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 3

Возведем $\sec (e^{2 x})$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (e^{2 x}) \sec (e^{2 x})) (\tan (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 4

Возведем $\sec (e^{2 x})$ в степень $1$ .

$2 (\sec^{1} (e^{2 x}) \sec^{1} (e^{2 x})) (\tan (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 {\sec (e^{2 x})}^{1 + 1} (\tan (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$2 \sec^{2} (e^{2 x}) (\tan (e^{2 x}) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $2 x$ .

$2 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $2 x$ .

$2 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$4 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (e^{2 x} (\frac{d}{d x} [x]))$

Этап 8.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) (e^{2 x} \cdot 1)$

Этап 8.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $e^{2 x}$ на $1$ .

$4 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) e^{2 x}$

Этап 8.4.2

Изменим порядок множителей в $4 \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x}) e^{2 x}$ .

$4 e^{2 x} \sec^{2} (e^{2 x}) \tan (e^{2 x})$