Математический анализ Примеры

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \cos^{2} (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sin (2 x)$ и $g (x) = 1 + \cos^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) (2 \cdot 1) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) \cdot 2 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 3.3.2

Перенесем $2$ влево от $(1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x)$ .

$\frac{2 \cdot ((1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x)) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [1 + \cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $1 + \cos^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 3.6

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - \sin (2 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 6

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) \cos (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{2 (1 + \cos^{2} (x)) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos^{2} (x)) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \cdot 1 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) \cos (x) \sin (x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.3.2

Добавим круглые скобки.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \sin (2 x) (\cos (x) \sin (x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.3.3

Изменим порядок $2 \sin (2 x)$ и $\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \cos (x) \sin (x) (2 \sin (2 x))}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.3.4

Добавим круглые скобки.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \cos (x) (\sin (x) \cdot 2) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.3.5

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sin (x) \cdot 2$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.3.6

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.3.7

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.3.8

Умножим $\sin (2 x) \sin (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.8.1

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.3.8.2

Возведем $\sin (2 x)$ в степень $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.3.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + {\sin (2 x)}^{1 + 1}}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.3.8.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \cos (2 x) + 2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$

Этап 8.4

Изменим порядок членов.

$\frac{2 \cos^{2} (x) \cos (2 x) + 2 \cos (2 x) + \sin^{2} (2 x)}{{(1 + \cos^{2} (x))}^{2}}$