Математический анализ Примеры

${\tan (x)}^{\frac{1}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${\tan (x)}^{\frac{1}{x}}$ в виде $e^{\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})$ , вынося $\frac{1}{x}$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (\tan (x))}]$

Этап 2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (\tan (x))$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \frac{\ln (\tan (x))}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{\ln (\tan (x))}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{\ln (\tan (x))}{x}$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (\tan (x))$ и $g (x) = x$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))] - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\tan (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\tan (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 6

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 7

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 8

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 9

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 10.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Этап 10.2.2

Объединим $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ и $\frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x))}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\cot (x) \sec^{2} (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.5

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \frac{1^{2}}{\sin (x) \cos (x)}) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.6

Разделим дроби.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.7

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{\cos (x)} \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.8

Разделим дроби.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.9

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{1} \sec (x) \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.10

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{1^{2}}{1} e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.11

Разделим $1^{2}$ на $1$ .

$\frac{1^{2} e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.12

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.13

Умножим $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ на $1$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.2.1.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Этап 11.2.2

Изменим порядок множителей в $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Этап 11.3

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Этап 11.4

Вынесем множитель $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ из $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Изменим порядок $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ и $x$ .

$\frac{x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Этап 11.4.2

Вынесем множитель $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ из $x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \csc (x) \sec (x)$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

Этап 11.4.3

Вынесем множитель $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ из $- e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

Этап 11.4.4

Вынесем множитель $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ из $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))$ .

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x) - \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$