Математический анализ Примеры

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 2

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 + \sec (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 5

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 6

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $1 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.1.2

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.1.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.1.4

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.1.5

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.3

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.5

Умножим $\sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.5.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.2.6

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{2} (x) + \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.3.2

Умножим на $1$ .

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.3.3

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$ .

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.4

Сократим общий множитель $\sec (x) + 1$ и ${(1 + \sec (x))}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Изменим порядок членов.

$\frac{\sec (x) (1 + \sec (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.4.2

Вынесем множитель $1 + \sec (x)$ из $\sec (x) (1 + \sec (x))$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 9.4.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.3.1

Вынесем множитель $1 + \sec (x)$ из ${(1 + \sec (x))}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Этап 9.4.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

Этап 9.4.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$