Математический анализ Примеры

$\sqrt{\frac{x}{17}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{\frac{x}{17}}$ в виде ${(\frac{x}{17})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{17})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \frac{x}{17}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{17}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{17}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{17}]$

Этап 8

Поскольку $\frac{1}{17}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{17}$ по $x$ равна $\frac{1}{17} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{17} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $\frac{1}{17}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{17 \cdot 2} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.2

Умножим $17$ на $2$ .

$\frac{1}{34} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{34} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 11

Умножим $\frac{1}{34}$ на $1$ .

$\frac{1}{34} {(\frac{x}{17})}^{- \frac{1}{2}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{1}{34} {(\frac{17}{x})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 12.2

Применим правило умножения к $\frac{17}{x}$ .

$\frac{1}{34} \cdot \frac{17^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3

Умножим $\frac{1}{34}$ на $\frac{17^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{17^{\frac{1}{2}}}{34 x^{\frac{1}{2}}}$