Математический анализ Примеры

$e^{x} (\sin (x) + \cos (x))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)] + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$e^{x} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 4

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} (\cos (x) - \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + (\sin (x) + \cos (x)) e^{x}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{x} \cos (x) + e^{x} (- \sin (x)) + \sin (x) e^{x} + \cos (x) e^{x}$

Этап 6.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Изменим порядок $\sin (x)$ и $e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) - 1 \cdot e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Этап 6.3.2

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) + e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Этап 6.3.3

Добавим $- e^{x} \sin (x)$ и $e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \cos (x) + 0 + \cos (x) e^{x}$

Этап 6.3.4

Добавим $e^{x} \cos (x)$ и $0$ .

$e^{x} \cos (x) + \cos (x) e^{x}$

Этап 6.3.5

Добавим $e^{x} \cos (x)$ и $\cos (x) e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.5.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $e^{x}$ .

$e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Этап 6.3.5.2

Добавим $e^{x} \cos (x)$ и $e^{x} \cos (x)$ .

$2 e^{x} \cos (x)$