Математический анализ Примеры

$e^{x \sqrt{7 x + 19}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{7 x + 19}$ в виде ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [{(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}] + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $7 x + 19$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $7 x + 19$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2} {(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{{(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.3

Перенесем ${(7 x + 19)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{1}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x + 19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.4

Объединим $\frac{1}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x + 19] + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10

По правилу суммы производная $7 x + 19$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [19]$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 11

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13

Умножим $7$ на $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 + \frac{d}{d x} [19]) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14

Поскольку $19$ является константой относительно $x$ , производная $19$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 + 0) + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Добавим $7$ и $0$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 7 + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 15.2

Объединим $\frac{x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ и $7$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{x \cdot 7}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 15.3

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 \cdot x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Этап 17

Умножим ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}})$

Этап 18

Чтобы записать ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 19

Объединим ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{7 x}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 20

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} (2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Умножим ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Перенесем ${(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.4

Добавим $1$ и $1$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21.5

Разделим $2$ на $2$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + {(7 x + 19)}^{1} \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Упростим ${(7 x + 19)}^{1} \cdot 2$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + (7 x + 19) \cdot 2}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.2

Перенесем $2$ влево от $7 x + 19$ .

$e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \frac{7 x + 2 \cdot (7 x + 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 23

Объединим $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ и $\frac{7 x + 2 (7 x + 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x + 19))}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 2 (7 x) + 2 \cdot 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.2.1.1

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x + 2 \cdot 19)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.2.1.2

Умножим $2$ на $19$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (7 x + 14 x + 38)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.2.2

Добавим $7 x$ и $14 x$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x + 38)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.2.5

Перенесем $38$ влево от $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 \cdot e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.2.6

Изменим порядок множителей в $21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 x e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.3

Изменим порядок членов.

$\frac{21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.4

Вынесем множитель $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ из $21 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} x + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.4.1

Перенесем $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{21 x e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.4.2

Вынесем множитель $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ из $21 x e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + 38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.4.3

Вынесем множитель $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ из $38 e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 24.4.4

Вынесем множитель $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$ из $e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x) + e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 38$ .

$\frac{e^{x {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}} (21 x + 38)}{2 {(7 x + 19)}^{\frac{1}{2}}}$