Математический анализ Примеры

$e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $e^{6 x} - \csc (x) \cot (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x$ .

$e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Этап 2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Этап 2.4

Умножим $6$ на $1$ .

$e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Этап 2.5

Перенесем $6$ влево от $e^{6 x}$ .

$6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \csc (x) \cot (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \csc (x) \cot (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$ .

$6 e^{6 x} - \frac{d}{d x} [\csc (x) \cot (x)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = \cot (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 3.3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)])$

Этап 3.4

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 e^{6 x} - (\csc (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Этап 3.5

Возведем $\csc (x)$ в степень $1$ .

$6 e^{6 x} - (- (\csc^{1} (x) \csc^{2} (x)) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Этап 3.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 e^{6 x} - (- {\csc (x)}^{1 + 2} + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Этап 3.7

Добавим $1$ и $2$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) + \cot (x) (- \csc (x) \cot (x)))$

Этап 3.8

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot (x)))$

Этап 3.9

Возведем $\cot (x)$ в степень $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) (\cot^{1} (x) \cot^{1} (x)))$

Этап 3.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) {\cot (x)}^{1 + 1})$

Этап 3.11

Добавим $1$ и $1$ .

$6 e^{6 x} - (- \csc^{3} (x) - \csc (x) \cot^{2} (x))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 e^{6 x} - - \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 e^{6 x} + 1 \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Этап 4.2.2

Умножим $\csc^{3} (x)$ на $1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) - (- \csc (x) \cot^{2} (x))$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + 1 (\csc (x) \cot^{2} (x))$

Этап 4.2.4

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$6 e^{6 x} + \csc^{3} (x) + \csc (x) \cot^{2} (x)$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\cot^{2} (x) \csc (x) + 6 e^{6 x} + \csc^{3} (x)$