Математический анализ Примеры

$\ln ({(x^{4})}^{2})$

Этап 1

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{4 \cdot 2})]$

Этап 1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{8})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{8}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Этап 2.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$\frac{1}{x^{8}} (8 x^{7})$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{8}{x^{8}} x^{7}$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{8}{x^{8}}$ и $x^{7}$ .

$\frac{8 x^{7}}{x^{8}}$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x^{7}$ и $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $x^{7}$ из $8 x^{7}$ .

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{8}}$

Этап 3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель $x^{7}$ из $x^{8}$ .

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{7} x}$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{7} x}$

Этап 3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{8}{x}$