Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (7 x)}{x^{5}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (7 x)$ и $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x$ .

$\frac{x^{5} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{7 x}$ и $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $x$ из $7 x$ .

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\frac{x^{4}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Объединим $7$ и $\frac{x^{4}}{7}$ .

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4.4.2.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4.6

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

Этап 4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

Этап 4.8

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Этап 4.8.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

Этап 4.8.2.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $- 5 \ln (7 x) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Этап 4.8.2.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - 5 \ln (7 x)}{x^{6}}$

Этап 6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим $- 5 \ln (7 x)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{5})}{x^{6}}$

Этап 6.2

Применим правило умножения к $7 x$ .

$\frac{1 - \ln (7^{5} x^{5})}{x^{6}}$

Этап 6.3

Возведем $7$ в степень $5$ .

$\frac{1 - \ln (16807 x^{5})}{x^{6}}$