Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (x)}{\ln (x + 1)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (x + 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Этап 2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Этап 3

Объединим $\ln (x + 1)$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Этап 4

Умножим $\frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$ на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\ln^{2} (x + 1)}$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим.

$\frac{x (\frac{\ln (x + 1)}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \frac{\ln (x + 1)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{\ln (x + 1)}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 6.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \ln (x) (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{x + 1}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (x + 1) + x (- \frac{\ln (x)}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 7.2

Объединим $x$ и $\frac{\ln (x)}{x + 1}$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 7.3

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 7.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} (1 + 0)}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 7.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1} \cdot 1}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 7.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) - \frac{x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 8

Чтобы записать $\ln (x + 1)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1)}{x + 1} - \frac{x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 10

Перепишем $\frac{\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}}{x \ln^{2} (x + 1)}$ в виде произведения.

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1} \cdot \frac{1}{x \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 11

Умножим $\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{x + 1}$ на $\frac{1}{x \ln^{2} (x + 1)}$ .

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{(x + 1) (x \ln^{2} (x + 1))}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln (x + 1) (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 12.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) \cdot 1 - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 12.2.1.2

Умножим $\ln (x + 1)$ на $1$ .

$\frac{\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 12.2.2

Изменим порядок множителей в $\ln (x + 1) x + \ln (x + 1) - x \ln (x)$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x \cdot x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 12.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1} x + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 12.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1} x^{1} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 12.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{1 + 1} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 12.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{2} + 1 x) \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 12.3.5

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{x \ln (x + 1) + \ln (x + 1) - x \ln (x)}{(x^{2} + x) \ln^{2} (x + 1)}$

Этап 12.4

Изменим порядок членов.

$\frac{x \ln (x + 1) - x \ln (x) + \ln (x + 1)}{\ln^{2} (x + 1) (x^{2} + x)}$