Математический анализ Примеры

$\frac{\ln (x)}{\ln (x) + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \ln (x) + 1$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 3

По правилу суммы производная $\ln (x) + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + 0)}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 5.2.2

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\ln (x)$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 6

Чтобы записать $(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 7

Объединим $(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 9

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 10

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \cdot 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 11

Умножим $\ln (x) + 1$ на $1$ .

$\frac{\frac{\ln (x) + 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 12

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 13

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 13.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 14

Перепишем $\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ в виде произведения.

$\frac{\ln (1) + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 15

Умножим $\frac{\ln (1) + 1}{x}$ на $\frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ .

$\frac{\ln (1) + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$\frac{0 + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

Этап 16.2

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$