Математический анализ Примеры

$\log_{5} (\sqrt{3 x + 5})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 x + 5}$ в виде ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\log_{5} ({(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{5} (x)$ и $g (x) = {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log_{5} (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\log_{5} (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x + 5$ .

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x + 5$ .

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2} {(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{{(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 10

Перенесем ${(3 x + 5)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)} (\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x + 5])$

Этап 11

Умножим $\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{{(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5)}$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} ({(3 x + 5)}^{\frac{1}{2}} \ln (5))} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Этап 12

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Этап 13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Этап 13.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Этап 14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{\frac{2}{2}} \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Этап 14.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 {(3 x + 5)}^{1} \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Этап 15

Упростим.

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} \frac{d}{d x} [3 x + 5]$

Этап 16

По правилу суммы производная $3 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 17

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 19

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} (3 + \frac{d}{d x} [5])$

Этап 20

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} (3 + 0)$

Этап 21

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 21.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)} \cdot 3$

Этап 21.2

Объединим $\frac{1}{2 (3 x + 5) \ln (5)}$ и $3$ .

$\frac{3}{2 (3 x + 5) \ln (5)}$

Этап 22

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{(2 (3 x) + 2 \cdot 5) \ln (5)}$

Этап 22.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3}{2 (3 x) \ln (5) + 2 \cdot 5 \ln (5)}$

Этап 22.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{3}{6 x \ln (5) + 2 \cdot 5 \ln (5)}$

Этап 22.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{3}{6 x \ln (5) + 10 \ln (5)}$