Математический анализ Примеры

$\log_{2} (x^{2} + 10 x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{2} (x)$ и $g (x) = x^{2} + 10 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 10 x$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Этап 1.2

Производная $\log_{2} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 10 x$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 10 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + \frac{d}{d x} [10 x])$

Этап 2.3

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10 \cdot 1)$

Этап 2.5

Умножим $10$ на $1$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 10 x) \ln (2)} (2 x + 10)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)} (2 x + 10)$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)} (2 x + 10)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $x^{2} \ln (2) + 10 x \ln (2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $x^{2} \ln (2)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x) + 10 x \ln (2)}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $10 x \ln (2)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x) + x \ln (2) (10)}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $x \ln (2)$ из $x \ln (2) (x) + x \ln (2) (10)$ .

$(2 x + 10) \frac{1}{x \ln (2) (x + 10)}$

Этап 3.4

Умножим $2 x + 10$ на $\frac{1}{x \ln (2) (x + 10)}$ .

$\frac{2 x + 10}{x \ln (2) (x + 10)}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 10}{x \ln (2) (x + 10)}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 5}{x \ln (2) (x + 10)}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x + 2 \cdot 5$ .

$\frac{2 (x + 5)}{x \ln (2) (x + 10)}$