Математический анализ Примеры

$\sqrt{4 x + 8}$

Этап 1

Перепишем $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x + 8}]$ в виде $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем $4 x + 8$ в виде $2^{2} (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 8}]$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 4 (2)}]$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $4$ из $4 (x) + 4 (2)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x + 2)}]$

Этап 1.1.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x + 2)}]$

Этап 1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x + 2}$ в виде ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 8

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 8.3

Перенесем ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Этап 8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ и $2$ .

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 8.5

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 8.6

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 9

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Этап 12.2

Умножим $\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ на $1$ .

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$