Математический анализ Примеры

$\sqrt{2 x + 4 y} + \sqrt{4 x y}$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sqrt{2 x + 4 y} + \sqrt{4 x y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 x + 4 y}$ в виде ${(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 2 x + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $2 x + 4 y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $2 x + 4 y$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $2 x + 4 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.6

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.12

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.13

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.14

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.15

Объединим $\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $2$ .

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.16

Перенесем $2$ влево от ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.17

Перенесем ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{2 {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.18

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 2.19

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{4 x y}$ в виде ${(4 x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(4 x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Вынесем множитель $4$ из $4 x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(4 (x y))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $4 (x y)$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.5

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{1} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.7

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 3.9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 3.9.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

Этап 3.10

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (y \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (y \cdot 1))$

Этап 3.12

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (y \cdot 1))$

Этап 3.13

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (y \cdot 1))$

Этап 3.14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (y \cdot 1))$

Этап 3.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (y \cdot 1))$

Этап 3.15.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} (y \cdot 1))$

Этап 3.16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} (y \cdot 1))$

Этап 3.17

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} y)$

Этап 3.18

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)$

Этап 3.19

Объединим $\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}$

Этап 3.20

Перенесем ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.21

Объединим $2$ и $\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.22

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.23

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $x y$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $y^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $y$ на $y^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$