Математический анализ Примеры

$\sqrt{1 - 49 x^{2}} \arccos (7 x)$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - 49 x^{2}}$ в виде ${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \arccos (7 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = \arccos (7 x)$ .

${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\arccos (7 x)] + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arccos (x)$ и $g (x) = 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $7 x$ .

${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d u_{1}} [\arccos (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x]) + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Производная $\arccos (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [7 x]) + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $7 x$ .

${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(7 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [7 x]) + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $7$ из $7 x$ .

${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(7 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [7 x]) + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Применим правило умножения к $7 (x)$ .

${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - (7^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [7 x]) + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.1.2

Возведем $7$ в степень $2$ .

${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - (49 x^{2})}} \frac{d}{d x} [7 x]) + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.1.3

Умножим $49$ на $- 1$ .

${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} (- \frac{1}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} \frac{d}{d x} [7 x]) + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.2.2

Объединим ${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$ .

$- \frac{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} \frac{d}{d x} [7 x] + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} (7 \frac{d}{d x} [x]) + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $7$ на $- 1$ .

$- 7 \frac{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.4.2

Объединим $- 7$ и $\frac{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$ .

$\frac{- 7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} \cdot 1 + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 4.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) \frac{d}{d x} [{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 - 49 x^{2}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}])$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}])$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - 49 x^{2}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) (\frac{1}{2} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}])$

Этап 6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) (\frac{1}{2} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}])$

Этап 7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) (\frac{1}{2} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}])$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) (\frac{1}{2} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}])$

Этап 9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) (\frac{1}{2} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}])$

Этап 9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) (\frac{1}{2} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}])$

Этап 10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) (\frac{1}{2} {(1 - 49 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}])$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - 49 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) (\frac{{(1 - 49 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}])$

Этап 10.3

Перенесем ${(1 - 49 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \arccos (7 x) (\frac{1}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}])$

Этап 10.4

Объединим $\frac{1}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $\arccos (7 x)$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{\arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - 49 x^{2}]$

Этап 11

По правилу суммы производная $1 - 49 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 49 x^{2}]$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{\arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 49 x^{2}])$

Этап 12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{\arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 49 x^{2}])$

Этап 13

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 49 x^{2}]$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{\arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- 49 x^{2}]$

Этап 14

Поскольку $- 49$ является константой относительно $x$ , производная $- 49 x^{2}$ по $x$ равна $- 49 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{\arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 49 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 15

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $- 49$ и $\frac{\arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{- 49 \arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 15.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} - \frac{49 \arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} - \frac{49 \arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Этап 17

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} - 2 \frac{49 \arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 17.2

Объединим $- 2$ и $\frac{49 \arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{- 2 (49 \arccos (7 x))}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 17.3

Умножим $49$ на $- 2$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{- 98 \arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 17.4

Объединим $\frac{- 98 \arccos (7 x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{- 98 \arccos (7 x) x}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 17.5

Вынесем множитель $2$ из $- 98 \arccos (7 x) x$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{2 (- 49 \arccos (7 x) x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{2 (- 49 \arccos (7 x) x)}{2 ({(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 18.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{2 (- 49 \arccos (7 x) x)}{2 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 18.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} + \frac{- 49 \arccos (7 x) x}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 19

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} - \frac{49 \arccos (7 x) x}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 20

Чтобы записать $- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}} \cdot \frac{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 \arccos (7 x) x}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 21

Чтобы записать $- \frac{49 \arccos (7 x) x}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$ .

Этап 22

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sqrt{1 - 49 x^{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Умножим $\frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$ на $\frac{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 \arccos (7 x) x}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$

Этап 22.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - 49 x^{2}}$ в виде ${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{49 \arccos (7 x) x}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$

Этап 22.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} - \frac{49 \arccos (7 x) x}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$

Этап 22.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}} - \frac{49 \arccos (7 x) x}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$

Этап 22.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} - \frac{49 \arccos (7 x) x}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$

Этап 22.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.6.1

Сократим общий множитель.

Этап 22.6.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}} - \frac{49 \arccos (7 x) x}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$

Этап 22.7

Умножим $\frac{49 \arccos (7 x) x}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}{\sqrt{1 - 49 x^{2}}}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}} - \frac{49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - 49 x^{2}}}$

Этап 22.8

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - 49 x^{2}}$ в виде ${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}} - \frac{49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}} - \frac{49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Этап 22.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}} - \frac{49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Этап 22.11

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}} - \frac{49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 22.12

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.12.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}} - \frac{49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 22.12.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}} - \frac{49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}}$

Этап 23

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}}$

Этап 24

Умножим ${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 24.1

Перенесем ${(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 7 ({(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}}$

Этап 24.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}}$

Этап 24.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}}$

Этап 24.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 7 {(1 - 49 x^{2})}^{\frac{2}{2}} - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}}$

Этап 24.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{- 7 {(1 - 49 x^{2})}^{1} - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}}$

Этап 25

Упростим $- 7 {(1 - 49 x^{2})}^{1}$ .

$\frac{- 7 (1 - 49 x^{2}) - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{{(1 - 49 x^{2})}^{1}}$

Этап 26

Упростим.

$\frac{- 7 (1 - 49 x^{2}) - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{1 - 49 x^{2}}$

Этап 27

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 7 \cdot 1 - 7 (- 49 x^{2}) - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{1 - 49 x^{2}}$

Этап 27.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 27.2.1.1

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\frac{- 7 - 7 (- 49 x^{2}) - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{1 - 49 x^{2}}$

Этап 27.2.1.2

Умножим $- 49$ на $- 7$ .

$\frac{- 7 + 343 x^{2} - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1 - 49 x^{2}}}{1 - 49 x^{2}}$

Этап 27.2.1.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{- 7 + 343 x^{2} - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1^{2} - 49 x^{2}}}{1 - 49 x^{2}}$

Этап 27.2.1.4

Перепишем $49 x^{2}$ в виде ${(7 x)}^{2}$ .

$\frac{- 7 + 343 x^{2} - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{1^{2} - {(7 x)}^{2}}}{1 - 49 x^{2}}$

Этап 27.2.1.5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = 7 x$ .

$\frac{- 7 + 343 x^{2} - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{(1 + 7 x) (1 - (7 x))}}{1 - 49 x^{2}}$

Этап 27.2.1.6

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{- 7 + 343 x^{2} - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}}{1 - 49 x^{2}}$

Этап 27.2.2

Изменим порядок множителей в $- 7 + 343 x^{2} - 49 \arccos (7 x) x \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}$ .

$\frac{- 7 + 343 x^{2} - 49 x \arccos (7 x) \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)}}{1 - 49 x^{2}}$

Этап 27.3

Изменим порядок членов.

$\frac{343 x^{2} - 49 x \sqrt{(1 + 7 x) (1 - 7 x)} \arccos (7 x) - 7}{- 49 x^{2} + 1}$