Математический анализ Примеры

$\sqrt[3]{e^{2 x}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{e^{2 x}}$ в виде $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \frac{2 x}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x}{3}$ .

$e^{\frac{2 x}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x}{3}$ по $x$ равна $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\frac{2 x}{3}} (\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x}{3}}}{3} \cdot 1$

Этап 3.4

Умножим $\frac{2 e^{\frac{2 x}{3}}}{3}$ на $1$ .

$\frac{2 e^{\frac{2 x}{3}}}{3}$