Математический анализ Примеры

$\sqrt[3]{\cos^{2} (3 x)}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{\cos^{2} (3 x)}$ в виде ${\cos (3 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{\cos (3 x)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ и $g (x) = \cos (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} {u_{1}}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (3 x)$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{2}{3} {\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 7.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 7.3

Перенесем ${\cos (3 x)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 8

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 8.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 8.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Объединим $\frac{2}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ и $\sin (3 x)$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 9.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 \frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.3.2

Объединим $- 3$ и $\frac{2 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 3 (2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.3.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{- 6 \sin (3 x)}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 9.3.4

Вынесем множитель $3$ из $- 6 \sin (3 x)$ .

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 ({\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}})} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (- 2 \sin (3 x))}{3 {\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 10.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Этап 13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2 \sin (3 x)}{{\cos (3 x)}^{\frac{1}{3}}}$