Математический анализ Примеры

$\sqrt[3]{\frac{2 x + 5}{3 x + 2}}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{\frac{2 x + 5}{3 x + 2}}$ в виде ${(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = \frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{2 x + 5}{3 x + 2}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Этап 7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x + 5}{3 x + 2}]$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x + 5$ и $g (x) = 3 x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

По правилу суммы производная $2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(3 x + 2) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.6.2

Перенесем $2$ влево от $3 x + 2$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 \cdot (3 x + 2) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x + 2]}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.7

По правилу суммы производная $3 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.10

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [2])}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.11

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) (3 + 0)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - (2 x + 5) \cdot 3}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.12.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 9.12.3

Умножим $\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x + 2)}^{2} \cdot 3} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 9.12.4

Перенесем $3$ влево от ${(3 x + 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 \cdot {(3 x + 2)}^{2}} {(\frac{2 x + 5}{3 x + 2})}^{- \frac{2}{3}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Изменим знак экспоненты, переписав основание в виде обратной величины.

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} {(\frac{3 x + 2}{2 x + 5})}^{\frac{2}{3}}$

Этап 10.2

Применим правило умножения к $\frac{3 x + 2}{2 x + 5}$ .

$\frac{2 (3 x + 2) - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 2 - 3 (2 x + 5)}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6 x + 2 \cdot 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.5.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{6 x + 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.5.3

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{6 x + 4 - 6 x - 3 \cdot 5}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.5.4

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{6 x + 4 - 6 x - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.5.5

Вычтем $6 x$ из $6 x$ .

$\frac{0 + 4 - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.5.6

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{4 - 15}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.5.7

Вычтем $15$ из $4$ .

$\frac{- 11}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{11}{3 {(3 x + 2)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 10.5.9

Умножим $\frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}}$ на $\frac{11}{3 {(3 x + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{{(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 11}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} (3 {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 10.5.10

Перенесем $11$ влево от ${(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11 \cdot {(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} (3 {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 10.5.11

Перенесем $3$ влево от ${(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11 {(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 \cdot {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2}}$

Этап 10.5.12

Перенесем ${(3 x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}}$

Этап 10.5.13

Умножим ${(3 x + 2)}^{2}$ на ${(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.13.1

Перенесем ${(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} ({(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{2})}$

Этап 10.5.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + 2}}$

Этап 10.5.13.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

Этап 10.5.13.4

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Этап 10.5.13.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

Этап 10.5.13.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.13.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

Этап 10.5.13.6.2

Добавим $- 2$ и $6$ .

$- \frac{11}{3 {(2 x + 5)}^{\frac{2}{3}} {(3 x + 2)}^{\frac{4}{3}}}$