Математический анализ Примеры

$\sqrt[3]{3 x}$

Этап 1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3 x}$ в виде ${(3 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(3 (x))}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.3

Применим правило умножения к $3 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2

Поскольку $3^{\frac{1}{3}}$ является константой относительно $x$ , производная $3^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 7.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3^{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3^{\frac{1}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 10

Объединим $3^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Перенесем $3^{\frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}}}$

Этап 11.2

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 12

Умножим $3$ на $3^{- \frac{1}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $3$ на $3^{- \frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Возведем $3$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3^{1} \cdot 3^{- \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 12.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3^{1 - \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 12.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{3^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 12.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{3^{\frac{3 - 1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 12.4

Вычтем $1$ из $3$ .

$\frac{1}{3^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$