Математический анализ Примеры

$y = \frac{2 x^{6} - 7 x^{5} + 3}{x^{4}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x^{6} - 7 x^{5} + 3$ и $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [2 x^{6} - 7 x^{5} + 3] - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $2 x^{6} - 7 x^{5} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [2 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{6}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{x^{4} (2 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$\frac{x^{4} (2 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.5

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{5}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 7 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.8

Умножим $5$ на $- 7$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4} + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.9

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4} + 0) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.10

Добавим $12 x^{5} - 35 x^{4}$ и $0$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 2.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Этап 2.12

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}}{x^{8}}$

Этап 2.12.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4} (12 x^{5} - 35 x^{4})$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}}{x^{8}}$

Этап 2.12.2.2

Вынесем множитель $x^{3}$ из $- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) + x^{3} (- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{8}}$

Этап 2.12.2.3

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4})) + x^{3} (- 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{8}}$

Этап 3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (12 x^{5} - 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3)}{x^{5}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (12 x^{5}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6} - 7 x^{5} + 3)}{x^{5}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (12 x^{5}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{12 x \cdot x^{5} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Перенесем $x^{5}$ .

$\frac{12 (x^{5} x) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $x^{5}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{12 (x^{5} x^{1}) + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{5 + 1} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.2.3

Добавим $5$ и $1$ .

$\frac{12 x^{6} + x (- 35 x^{4}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{12 x^{6} - 35 x \cdot x^{4} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.4

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.1

Перенесем $x^{4}$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 (x^{4} x) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.4.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 (x^{4} x^{1}) - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{4 + 1} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.4.3

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 4 (2 x^{6}) - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} - 4 (- 7 x^{5}) - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.6

Умножим $- 7$ на $- 4$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} + 28 x^{5} - 4 \cdot 3}{x^{5}}$

Этап 4.3.1.7

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\frac{12 x^{6} - 35 x^{5} - 8 x^{6} + 28 x^{5} - 12}{x^{5}}$

Этап 4.3.2

Вычтем $8 x^{6}$ из $12 x^{6}$ .

$\frac{4 x^{6} - 35 x^{5} + 28 x^{5} - 12}{x^{5}}$

Этап 4.3.3

Добавим $- 35 x^{5}$ и $28 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{6} - 7 x^{5} - 12}{x^{5}}$