Математический анализ Примеры

$\frac{x}{{(4 x - 11)}^{3}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(4 x - 11)}^{3}$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 11)}^{3}]}{{({(4 x - 11)}^{3})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(4 x - 11)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 11)}^{3}]}{{(4 x - 11)}^{3 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 11)}^{3}]}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 11)}^{3}]}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Этап 2.3

Умножим ${(4 x - 11)}^{3}$ на $1$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} - x \frac{d}{d x} [{(4 x - 11)}^{3}]}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = 4 x - 11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - 11$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} - x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 11$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} - x (3 {(4 x - 11)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{3} - 3 x ({(4 x - 11)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель ${(4 x - 11)}^{2}$ из ${(4 x - 11)}^{3} - 3 x ({(4 x - 11)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель ${(4 x - 11)}^{2}$ из ${(4 x - 11)}^{3}$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11) - 3 x ({(4 x - 11)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель ${(4 x - 11)}^{2}$ из $- 3 x ({(4 x - 11)}^{2} \frac{d}{d x} [4 x - 11])$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11) + {(4 x - 11)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11]))}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель ${(4 x - 11)}^{2}$ из ${(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11) + {(4 x - 11)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11]))$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11 - 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11]))}{{(4 x - 11)}^{6}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель ${(4 x - 11)}^{2}$ из ${(4 x - 11)}^{6}$ .

$\frac{{(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11 - 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11]))}{{(4 x - 11)}^{2} {(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(4 x - 11)}^{2} (4 x - 11 - 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11]))}{{(4 x - 11)}^{2} {(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 x - 11 - 3 x (\frac{d}{d x} [4 x - 11])}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 6

По правилу суммы производная $4 x - 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 11])}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11])}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11])}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 9

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x (4 + \frac{d}{d x} [- 11])}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 10

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x (4 + 0)}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 11

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{4 x - 11 - 3 x \cdot 4}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 11.2

Умножим $4$ на $- 3$ .

$\frac{4 x - 11 - 12 x}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 11.3

Вычтем $12 x$ из $4 x$ .

$\frac{- 8 x - 11}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 8 x$ .

$\frac{- (8 x) - 11}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 12.2

Перепишем $- 11$ в виде $- 1 (11)$ .

$\frac{- (8 x) - 1 (11)}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 12.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (8 x) - 1 (11)$ .

$\frac{- (8 x + 11)}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 12.4

Перепишем $- (8 x + 11)$ в виде $- 1 (8 x + 11)$ .

$\frac{- 1 (8 x + 11)}{{(4 x - 11)}^{4}}$

Этап 12.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 x + 11}{{(4 x - 11)}^{4}}$