Математический анализ Примеры

$2 \ln (\sec (x) + \tan (x))$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (\sec (x) + \tan (x))$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sec (x) + \tan (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sec (x) + \tan (x)$ .

$2 (\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ и $2$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\sec (x) + \tan (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Этап 5

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sec (x) \tan (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 6.3

Умножим $\sec (x) \tan (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Объединим $\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ и $\sec (x)$ .

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 6.3.2

Объединим $\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ и $\tan (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 6.4

Объединим $\sec^{2} (x)$ и $\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x) \cdot 2}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 6.5

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 6.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 6.7

Вынесем множитель $2 \sec (x)$ из $2 \sec (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вынесем множитель $2 \sec (x)$ из $2 \sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 6.7.2

Вынесем множитель $2 \sec (x)$ из $2 \sec^{2} (x)$ .

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec (x) (\sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Этап 6.7.3

Вынесем множитель $2 \sec (x)$ из $2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec (x) (\sec (x))$ .

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$