Математический анализ Примеры

$2 x {(x - 4)}^{3}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x {(x - 4)}^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 4$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 4$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

Этап 4.6

Умножим ${(x - 4)}^{3}$ на $1$ .

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Этап 5.2

Умножим $3$ на $2$ .

$6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2 {(x - 4)}^{2}$ из $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $2 {(x - 4)}^{2}$ из $6 x {(x - 4)}^{2}$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $2 {(x - 4)}^{2}$ из $2 {(x - 4)}^{3}$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $2 {(x - 4)}^{2}$ из $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

Этап 5.4

Добавим $3 x$ и $x$ .

$2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Этап 5.5

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

Этап 5.6

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Этап 5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Этап 5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Этап 5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Этап 5.7.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Этап 5.7.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Этап 5.7.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Этап 5.8

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Этап 5.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $- 8$ на $2$ .

$(2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

Этап 5.9.2

Умножим $2$ на $16$ .

$(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

Этап 5.10

Развернем $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.1

Перенесем $x$ .

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.4

Умножим $- 4$ на $2$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x \cdot x - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.6.1

Перенесем $x$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 (x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.7

Умножим $- 16$ на $4$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.8

Умножим $- 4$ на $- 16$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.9

Умножим $4$ на $32$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

Этап 5.11.10

Умножим $32$ на $- 4$ .

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Этап 5.12

Вычтем $64 x^{2}$ из $- 8 x^{2}$ .

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

Этап 5.13

Добавим $64 x$ и $128 x$ .

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$