Математический анализ Примеры

$- 2 \cos (\sqrt{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (x^{\frac{1}{2}})$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 2 (- \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 (\sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \sin (x^{\frac{1}{2}}) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 10

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $2$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} \sin (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 11

Объединим $\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$ и $\sin (x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем $2$ влево от $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}} \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Этап 12.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sin (x^{\frac{1}{2}})}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}}$