Математический анализ Примеры

$2 \arccos (\sqrt{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 \arccos (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \arccos (x^{\frac{1}{2}})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\arccos (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arccos (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.2

Производная $\arccos (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3.2.2

Перепишем это выражение.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{1}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4

Упростим.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (\frac{1}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 13

Умножим $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ на $\frac{2}{\sqrt{1 - x}}$ .

$- \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \sqrt{1 - x}}$

Этап 14

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Перенесем $2$ влево от $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2 \sqrt{1 - x}}$

Этап 14.2

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 15

Сократим общий множитель.

$- \frac{2}{2 \sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 16

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{\sqrt{1 - x} x^{\frac{1}{2}}}$