Математический анализ Примеры

$2 x^{2} - 8 \sqrt{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x^{2} - 8 \sqrt{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 x - 8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 x - 8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.10

Объединим $- 8$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 x + \frac{- 8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Этап 3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 x + \frac{- 8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.12

Вынесем множитель $2$ из $- 8$ .

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 3.13.2

Сократим общий множитель.

$4 x + \frac{2 \cdot - 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.13.3

Перепишем это выражение.

$4 x + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 x - \frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$